方程式のガロア群　深遠な解の仕組みを理解する

ホウテイシキノガロアグンシンエンナカイノシクミヲリカイスル

著：金　重明

19世紀前半、フランスの天才数学者エヴァリスト・ガロアが方程式に関して行った考察は、その後の数学や物理学の発展に重要な役割を占めることになりました。方程式の解の関係性を表すガロア群。具体的な方程式のガロア群を計算することで、複雑に見えていた解の構造が浮かび上がります。

そもそも、「方程式を解く」とは、どのようなことだろうか。そして、方程式を「代数的に解く」とは、どのように解くことなのだろうか。２次方程式の公式のようなものは、３次方程式、４次方程式、５次方程式……と、どんな場合でも作れるのか。その答えのカギとなるのが、数学者・ガロアのアイディアだ！
特別なタイプの２項方程式や、円の分割を定める円周等分方程式などの具体例から、ガロアには見えていた不思議な仕組みや、振る舞い方が明らかになっていきます。

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関連シリーズ

第0章　そもそも方程式を解くとは？
0-0　方程式を代数的に解く
0-1　複素数の累乗根
第1章　2項方程式
1-0　既約方程式
1-1　ガロア拡大体
1-2　3次の2項方程式
1-3　Z/5Zの加法群
1-4　基礎体、ガロア拡大体、ガロア群
第2章　ガロア群の位数が素数である方程式
2-0　ガロア群の位数が２
2-1　ラグランジュの分解式
2-2　対称性を叩きつぶす
2-3　ラグランジュ vs. ガロア
第3章　円の分割を定める方程式
3-0　円周等分方程式
3-1　１の５乗根
3-2　１の７乗根
3-3　１の11乗根
3-4　一般化
3-5　ユークリッド以来の快挙
第4章　一般の方程式
4-0　対称群
4-1　正規部分群
4-2　ガロアの対応
4-3　一般の４次方程式
4-4　一般の５次方程式
第5章　具体的な方程式のガロア群
5-0　ガロア群への無謀な突撃
5-1　方程式のガロア群を構成する
5-2　別のVでも同じガロア群
5-3　３次方程式のガロア群
5-4　もうひとつ、３次方程式のガロア群
5-5　彼女がかけがえのない人になるまで
5-6　ガロアがもたらした革命